Арифметична прогресія – онлайн калькулятор

Аріфметична прогресія є одним із базових понять алгебри та математики. Це поняття знаходить широке застосування в різних галузях науки та техніки. В цій статті ми розглянемо визначення аріфметичної прогресії, її формули, властивості та приклади використання.

Визначення

Аріфметична прогресія – це послідовність чисел, кожне з яких є сумою попереднього числа та фіксованої константи, яку називають різницею прогресії. Інакше кажучи, аріфметична прогресія – це послідовність чисел, у якій кожне наступне число утворюється додаванням до попереднього числа фіксованого числа, яке називається кроком прогресії.

Формули

• Загальний член аріфметичної прогресії: $a_n = a_1 + (n-1)d$, де $a_1$ – перший член прогресії, $n$ – номер члену прогресії, $d$ – різниця прогресії.
• Сума перших $n$ членів аріфметичної прогресії: $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$.

Властивості

• У кожній аріфметичній прогресії з від’ємною різницею прогресії сума перших $n$ членів є скінченною.
• У кожній аріфметичній прогресії з додатною різницею прогресії сума перших $n$ членів нескінченно зростає при $n$ на невизначенності.

Приклади

Приклад 1

Створити аріфметичну прогресію з першим членом $a_1=3$ та різницею прогресії $d=2$. Знайти 7-й член прогресії.

Розв’язок: Використовуючи формулу загального члена аріфметичної прогресії маємо: $a_7 = a_1 + (7-1)d$ $a_7 = 3 + 6 \cdot 2$ $a_7 = 15$ Отже, 7-й член аріфметичної прогресії з першим членом 3 та різницею прогресії 2 дорівнює 15.

Приклад 2

У послідовності чисел 7, 10, 13, … знайти суму перших 10 членів.

Розв’язок: Так як у цій послідовності різниця прогресії дорівнює 3, то маємо аріфметичну прогресію з першим членом $a_1 = 7$ та різницею прогресії $d=3$. Використовуючи формулу суми перших $n$ членів аріфметичної прогресії, маємо:

$S_{10} = \frac{10}{2}(7 + a_{10})$

Знайдемо $a_{10}$, використовуючи формулу загального члена аріфметичної прогресії:

$a_{10} = a_1 + (10-1)d$ $a_{10} = 7 + 9 \cdot 3$ $a_{10} = 34$

Отже, $S_{10} = \frac{10}{2}(7 + 34) = 205$. Сума перших 10 членів послідовності 7, 10, 13, … дорівнює 205.

Застосування

Аріфметичні прогресії знаходять застосування в багатьох галузях, зокрема:

• Фінанси: аналіз доходів та витрат.
• Фізика: рух тіл зі сталим прискоренням.
• Інформатика: операції з масивами даних.
• Музика: розміщення нот на певній висоті.

Висновок

Аріфметична прогресія є важливим поняттям алгебри та математики, яке має широке застосування в різних галузях науки та техніки. У статті було розглянуто визначення, формули та властивості аріфметичної прогресії, а також наведено приклади використання.

Важливо мати розуміння та навички розв’язання задач на аріфметичні прогресії, оскільки вони можуть зустрічатись в різних областях знань та рішення їх допоможе зрозуміти більш складні математичні концепції.

Часті питання

1. Як знайти суму перших $n$ членів аріфметичної прогресії?

• Використовуйте формулу суми перших $n$ членів аріфметичної прогресії: $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$.

2. Як знайти загальний член аріфметичної прогресії?

• Використовуйте формулу загального члена аріфметичної прогресії: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

3. Як відрізнити аріфметичну прогресію від геометричної?

• У аріфметичній прогресії різниця між будь-якими двома сусідніми членами є сталою, тоді як у геометричній прогресії стала відношення між будь-якими двома сусідніми членами.

4. Які є застосування аріфметичних прогресій?

• Аріфметичні прогресії використовуються у фінансах, фізиці, інформатиці, музиці та інших галузях науки та техніки.

5. Які властивості має аріфметична прогресія?

• У аріфметичній прогресії різниця між будь-якими двома сусідніми членами є сталою.
• Формула загального члена аріфметичної прогресії містить перший член та різницю прогресії.
• Формула суми перших $n$ членів аріфметичної прогресії містить перший та останній члени послідовності.