Геометрична прогресія – онлайн калькулятор

Вступ

У математиці, геометрична прогресія – це послідовність чисел, де кожне наступне число є добутком попереднього на фіксований множник, який називається знаменником. Геометрична прогресія (ГП) є важливою концепцією в алгебрі, геометрії, фізиці, та інших галузях математики. У цій статті, ми детально розглянемо визначення, формули, приклади та застосування геометричної прогресії.

Визначення

Геометрична прогресія – це послідовність чисел, в якій кожне наступне число дорівнює попередньому помноженому на фіксований множник, який називається знаменником. Загальна формула ГП має вигляд:

a_n​=a₁​rⁿ⁻¹

де a₁ – перший член прогресії, r – знаменник, n – номер члена.

Наприклад, якщо перший член прогресії a₁=2 і знаменник r=3, то перші 5 членів прогресії будуть: 2,6,18,54,162.

Формули геометричної прогресії

Сума членів геометричної прогресії

Сума перших n членів геометричної прогресії обчислюється за формулою:

S_n​=a₁(1−rⁿ)/​(1−r)​

де a₁ – перший член прогресії, r – знаменник, n – кількість членів.

Безкінечна геометрична прогресія

Безкінечна геометрична прогресія – це геометрична прогресія з нескінченною кількістю членів.

Приклади геометричної прогресії

Ось декілька прикладів геометричної прогресії:

1. $1, 2, 4, 8, 16, …$ – знаменник дорівнює 2.
2. $3, 9, 27, 81, 243, …$ – знаменник дорівнює 3.
3. $5, -10, 20, -40, 80, …$ – знаменник дорівнює -2.

Застосування геометричної прогресії

Геометрична прогресія використовується в різних галузях, таких як фінанси, фізика, математика та ін. Наприклад:

Фінанси

Геометрична прогресія використовується для розрахунку процентів збільшення вкладу чи інвестицій. Якщо ви вкладаєте гроші на певну кількість років з певним відсотком річних, то ви можете використовувати формулу ГП, щоб знайти кінцеву суму.

Фізика

Геометрична прогресія використовується в фізиці для опису електричних та магнітних полів, а також радіоактивного розпаду.

Математика

Геометрична прогресія використовується для розв’язання різних математичних задач, таких як рівняння та системи рівнянь.

Заключення

Геометрична прогресія – це важливий математичний концепт, який має застосування в різних галузях. У цій статті ми детально розглянули визначення, формули, приклади та застосування геометричної прогресії. Надіємося, що ця стаття була корисною для вас.

Часті питання

1. Як знайти суму перших $n$ членів геометричної прогресії?

Щоб знайти суму перших $n$ членів геометричної прогресії, використовуйте формулу:

S_n​=a₁(1−rⁿ)/​(1−r)​

де a₁ – перший член прогресії, r – знаменник, n – кількість членів.

2. Як знайти загальний член геометричної прогресії?

Загальний член геометричної прогресії можна знайти за формулою:

a_n​=a₁​rⁿ⁻¹

де a₁ – перший член прогресії, r – знаменник, n – номер члена.

3. Чи може знаменник геометричної прогресії бути дробом?

Так, знаменник геометричної прогресії може бути дробом, але тоді вона називається геометричною прогресією зі змінним знаменником.

4. Як використовувати геометричну прогресію для розв’язання математичних задач?

Геометрична прогресія може бути використана для розв’язання різних математичних задач, таких як рівняння та системи рівнянь. Наприклад, якщо задано перший та останній члени геометричної прогресії, можна знайти знаменник прогресії та загальний член. Знайшовши загальний член, можна розв’язати різні рівняння та системи рівнянь.

5. Як можна використовувати геометричну прогресію в фінансових розрахунках?

Геометрична прогресія використовується в фінансових розрахунках для розрахунку процентів збільшення вкладу чи інвестицій. Наприклад, якщо ви вкладаєте гроші на певну кількість років з певним відсотком річних, то ви можете використовувати формулу геометричної прогресії, щоб розрахувати, скільки ви отримаєте грошей у кінці терміну вкладу.

6. Які приклади можна навести, щоб проілюструвати використання геометричної прогресії в реальному житті?

Один з прикладів використання геометричної прогресії в реальному житті – це збільшення кількості бактерій. Якщо відомо, що популяція бактерій збільшується з кожною годиною у $20%$, то можна використати формулу геометричної прогресії, щоб розрахувати, скільки бактерій буде через певний час.

Інший приклад – це ріст вкладів. Якщо відомо, що вклад збільшується на $5%$ щорічно, то можна використати геометричну прогресію, щоб розрахувати, скільки грошей буде на рахунку через певний термін.

7. Які переваги та недоліки використання геометричної прогресії?

Переваги використання геометричної прогресії полягають у тому, що вона може бути використана для розв’язання різних математичних задач, а також в фінансових розрахунках. Крім того, вона є простою та зручною для використання формулою.

Однак, недоліки геометричної прогресії полягають у тому, що вона може бути обмежена в своїх застосуваннях. Наприклад, вона не завжди є підходящою для моделювання процесів у фізиці та інших галузях науки. Крім того, при неправильному використанні геометричної прогресії може виникнути помилка в розрахунках.