Векторний добуток є одним з фундаментальних понять векторної алгебри та математики. Це математична операція, яка з’єднує два вектори і повертає новий вектор, перпендикулярний до площини, утвореної вихідними векторами. Векторний добуток має широкі застосування в фізиці, геометрії, комп’ютерній графіці та інших науках.

Що таке векторний добуток?

Векторний добуток – це бінарна операція, яка визначена тільки у тривимірному просторі. Результат векторного добутку є новим вектором, який перпендикулярний до обох вихідних векторів. Векторний добуток можна уявити як “вихр” або “обертання” відносно площини, утвореної вихідними векторами.

Формула векторного добутку

Формула векторного добутку між двома векторами a і b задається так:

a × b = (a_xb_y – a_yb_x)i + (a_yb_z – a_zb_y)j + (a_zb_x – a_xb_z)k
де (a_x, a_y, a_z) і (b_x, b_y, b_z) – координати векторів a і b, а i, j і k – одиничні вектори, що вказують на ортогональні вісі x, y і z.

Калькулятор векторного добутку

Калькулятор векторного добутку

Введіть координати векторів a і b:

			Обчислити

Геометричне тлумачення векторного добутку

Геометрично, векторний добуток має таке тлумачення: модуль векторного добутку дорівнює площі паралелограма, утвореного векторами a і b, а напрямок вектора визначається за допомогою правила правої руки. Якщо ви витягнете вказівний палець правої руки вздовж вектора a, а середній палець – вздовж вектора b, то величина векторного добутку буде вказувати у напрямку великого пальця.

Властивості векторного добутку

Векторний добуток має кілька важливих властивостей:

• Антикомутативність: a × b = -(b × a)
• Дистрибутивність відносно скалярного множення: a × (b + c) = a × b + a × c
• Асоціативність: (a × b) × c = a × (b × c)
• Скалярний добуток з векторним добутком: a × (b × c) = (a · c) b – (a · b) c

Обчислення модуля векторного добутку

Модуль векторного добутку можна обчислити за допомогою формули:

|a × b| = |a| |b| sin(θ)

де |a| і |b| – модулі векторів a і b, а θ – кут між ними.

Використання векторного добутку в фізиці

Векторний добуток має широке застосування в фізиці. Наприклад, векторний добуток використовується для обчислення моменту сили, магнітних полях, амперових законів та руху заряджених частинок в електромагнітному полі.

Приклади використання векторного добутку

• Обчислення моменту сили при обертанні об’єкта.
• Визначення магнітного моменту струмового замкненого контуру.
• Розрахунок кутової швидкості руху зарядженої частинки в магнітному полі.
• Визначення напрямку кручення вихідного вектора в комп’ютерній графіці.

Двовимірний та тривимірний векторний добуток

У двовимірному просторі векторний добуток має лише одну компоненту, яка визначається як величина з перпендикулярного вектору. У тривимірному просторі векторний добуток має три компоненти, які визначаються за формулою векторного добутку.

Векторний добуток та скалярний добуток

Векторний добуток і скалярний добуток – це дві різні математичні операції з векторами. Векторний добуток повертає новий вектор, тоді як скалярний добуток повертає скалярну величину. Векторний добуток має геометричне тлумачення, тоді як скалярний добуток використовується для обчислення проекції одного вектора на інший.

Векторний добуток у векторній алгебрі

Векторний добуток використовується у векторній алгебрі для визначення кривих, площин та взаємодії між різними векторами. Векторний добуток має важливе значення в багатьох областях математики та фізики.

Застосування векторного добутку в комп’ютерній графіці

У комп’ютерній графіці векторний добуток використовується для обчислення нормалей поверхонь, освітлення, тіней, анімації та інших ефектів. Векторний добуток допомагає створювати реалістичні 3D-зображення та анімацію.

Висновки

Векторний добуток є потужним математичним інструментом, який має широкі застосування в фізиці, геометрії, комп’ютерній графіці та інших науках. Він допомагає розуміти взаємодію між векторами, обчислювати моменти сил, моделювати фізичні явища та створювати реалістичну графіку. Векторний добуток є важливим інструментом для дослідження та розв’язання проблем у різних галузях науки і технологій.

FAQs

Q1. Чи можна використовувати векторний добуток у двовимірному просторі?

Так, векторний добуток можна використовувати у двовимірному просторі. У цьому випадку векторний добуток має лише одну компоненту, яка визначається як величина з перпендикулярного вектору.

Q2. Як векторний добуток використовується в комп’ютерній графіці?

Векторний добуток використовується в комп’ютерній графіці для обчислення нормалей поверхонь, освітлення, тіней, анімації та інших ефектів. Він допомагає створювати реалістичні 3D-зображення та анімацію.

Q3. Які є основні властивості векторного добутку?

Основні властивості векторного добутку включають антикомутативність, дистрибутивність відносно скалярного множення, асоціативність та взаємозв’язок з скалярним добутком.

Q4. Чи можна використовувати векторний добуток у тривимірному просторі?

Так, векторний добуток використовується у тривимірному просторі. Він має три компоненти, які визначаються за формулою векторного добутку.

Q5. Як векторний добуток застосовується у фізиці?

Векторний добуток застосовується у фізиці для обчислення моменту сили, магнітних полів, амперових законів та руху заряджених частинок в електромагнітному полі.